7. Peluang

Posted: November 5, 2013 in Statistika Ekonomi 1

A. Pengertian Peluang

Peluang semata-mata adalah suatu cara untuk menyatakan kesempatan terjadinya suatu peristiwa. Secara kualitatif peluang dapat dinyatakan dalam bentuk kata sifat untuk menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu keadaan seperti “baik”, “lemah”, “kuat”, “miskin”, “sedikit” dan lain sebagainya. Secara kuantitatif, peluang dinyatakan sebagai nilai-nilai numeris baik dalam bentuk pecahan maupun desimal antara 0 dan 1. Peluang sama dengan 0 berarti sebuah peristiwa tidak bisa terjadi sedangkan peluang sama dengan 1 berarti peristiwa tersebut pasti terjadi. Salah satu cara untuk menyatakan peluang dari suatu peristiwa adalah penggunaan diagram Venn.

Baik disadari ataupun tidak, peluang dan ketidakpastian memainkan peranan yang penting dalam hidup kita. Ketika kita mempersiapkan diri untuk ujian, kita mengukur seberapa besar kemungkinan suatu topik tertentu akan muncul dalam ujian. Begitu juga ketika menghadapi tahun anggaran baru, pemerintah memperkirakan berapa tingkat inflasi, suku bunga, atau nilai rupiah terhadap dollar US sebelum menetapkan RAPBN.

B. Peristiwa

Istilah peristiwa yang kita kenal sehari-hari seringkali agak berbeda makna  jika kita berbicara tentang teori peluang. Biasanya orang berpikir bahwa peristiwa adalah suatu kejadian layaknya peristiwa sejarah, gejala-gejala fisik, pesta dan lain sebagainya. Dalam statistika, pengertian ini diperluas dengan memasukkan unsur-unsur kesempatan atau peluang atas terjadinya suatu peristiwa yang didasarkan pada hasil sebuah percobaan atau eksperimen yang dilakukan secara berulang-ulang. Sebagai contoh peristiwa terambilnya kartu As dari setumpuk kartu bridge, jumlah cairan yang disaring dari mesin pengisi, jumlah kendaraan niaga yang melalui jalan protokol, jumlah barang yang cacat dalam satu lot, dan karakteristik lainnya yang secara umum tidak dapat disebutkan sebagai peristiwa.

Untuk keperluan penentuan peluang ada gunanya untuk membagi peristiwa ke dalam dua jenis peristiwa yakni peristiwa sederhana dan peristiwa majemuk. Peristiwa sederhana tidak dapat dibagi lebih lanjut lagi ke dalam komponen-komponen peristiwa, sedangkan peritiwa majemuk selalu memiliki dua atau lebih komponen peristiwa sederhana. Peristiwa “Kartu Sekop” secara definisi adalah peristiwa sederhana karena hanya ada satu jenis kartu sekop dalam setumpuk kartu bridge. Akan tetapi peristiwa “As Sekop” dapat dianggap sebagai peristiwa majemuk karena kartunya haruslah berisikan keduanya yakni kartu As dan kartu Sekop.  Namun definisi ini tergantung dari pandangan si pelaku percobaan. Bisa saja seseorang mengatakan bahwa As Sekop sebagai suatu peristiwa sederhana jika dia mengganggap hal ini sebagai suatu kesatuan. Pembagian jenis peristiwa ini dimaksudkan untuk kemudahan dalam mempelajari teori peluang selanjutnya.

C. Peluang Logis, Empiris dan Subjektif

Untuk peristiwa sederhana, peluang dapat diturunkan baik secara logis, melalui pengamatan empiris maupun secara subjektif. Ketiga bentuk peluang ini mempunyai implikasi yang penting khususnya dalam proses pengambilan keputusan.

1. Peluang Logis

Peluang logis dari sebuah peristiwa adalah rasio antara jumlah peristiwa yang bisa terjadi dengan jumlah semua hasil yang bisa terjadi, dimana hasil ini dapat diturunkan dari sebuah eksperimen.

Atau secara notasi

Peluang2. Peluang Empiris

Peluang empiris atau ada pula yang menyebutnya sebagai peluang objektif, hanya bisa diperoleh melalui percobaan atau eksperimen yang dilakukan secara berulang-ulang, dalam kondisi yang sama dan diharapkan dalam jumlah yang besar. Jika sebuah eksperimen dilakukan sebanyak N kali dan sebuah peritiwa A terjadi sebanyak n(A) kali dari N pengulangan ini, maka peluang terjadinya peristiwa A dinyatakan sebagai proporsi terjadinya peristiwa A ini.

Atau : Peluang

3. Peluang Subjektif

Peluang subjektif adalah sebuah bilangan antara 0 dan 1 yang digunakan seseorang untuk menyatakan perasaan ketidakpastian tentang terjadinya peristiwa tertentu. Peluang 0 berarti seseorang merasa bahwa peristiwa tersebut tidak mungkin terjadi, sedangkan peluang 1 berarti bahwa seseorang yakin bahwa peristiwa tersebut pasti terjadi.

D. Ruang Sampel

Peluang

Dalam tabel 1. dapat kita lihat bahwa jumlah peristiwa yang bisa terjadi dalam pelemparan dua buah dadu paling banyak adalah 36 titik (lebih dikenal sebagai titik sampel). Jika dilakukan pelemparan 1 buah dadu, angka-angka yang mungkin muncul adalah 1, 2, 3, 4, 5 dan 6 atau ada 6 titik sampel. Sebuah keluarga yang baru menikah merencanakan kelahiran 3 orang anak Anggaplah peluang lahirnya anak laki-laki (L) dan anak perempuan (P) adalah sama. Maka susunan anak (Laki-laki=L atau Perempuan=P) yang mungkin adalah LLL, LLP, LPL, LPP, PLL, PLP, PPL atau PPP, ada 8 titik sampel.

Semua hasil yang mungkin dari sebuah eksperimen, seperti yang baru dicontohkan, dalam teori peluang disebut sebagai ruang sampel atau ruang hasil. Jumlah titik yang dianggap sebagai representasi setiap peristiwa dalam ruang sampel ini dinotasikan dengan N,   sedangkan jumlah peristiwa yang sedang diamati dinotasikan dengan huruf  n. Secara formal ruang sampel ini dinyatakan dengan huruf  S. Untuk kemudahan bentuk penulisan ruang sampel ini mengunakan teori himpunan seperti contoh berikut.

Contoh :  S = { LLL, LLP, LPL, LPP, PLL, PLP, PPL, PPP} -> N = 8

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} -> N = 6

Menetapkan ruang sampel adalah langkah awal yang perlu dilakukan sebagai dasar untuk menghitung peluang suatu peristiwa yang ada dalam ruang sampel ini. Peluang terjadinya S adalah sama dengan satu. Ini merupakan konsekuensi logis, karena jumlah titik S adalah jumlah semua peristiwa yang mungkin demikian pula dengan peluangnya. Dalam diagram Venn notasi S ditempatkan pada ujung kanan atas persegi panjang.

E. Beberapa Kaidah Mencacah Ruang Sampel

1. Permutasi :

Permutasi adalah susunan yang dibentuk oleh seluruh atau sebagian dari sekumpulan objek.

Kaidah 1 :

Banyaknya permutasi dari n objek yang berbeda adalah n ! (baca n faktorial) adalah

            n ! = n × (n-1) × (n-2) …. × (2) × (1)

Contoh 1 :

Berapa banyak susunan yang dapat dibentuk oleh huruf abc?

Jawab :

n = 3 –>   n ! = 3 × 2 × 1 = 6

yaitu : abc, acb, bac, bca, cab dan cba

Kaidah 2 :

Banyaknya permutasi akibat pengambilan r objek dari n objek yang berbeda adalah

Peluang

Contoh 2 :

Dua kupon lotere diambil dari 20 kupon untuk menentukan hadiah pertama dan kedua? Hitunglah banyaknya titik sampel dalam ruang sampelnya,

Jawab :

Banyaknya titik sampel adalah

Peluang

Contoh 3 :

Berapa banyak cara sebuah regu basket dapat menjadwalkan 3 pertandingan dengan 3 regu lainnya bila semuanya bersedia pada 5 kemungkinan tanggal yang berbeda

Jawab :

Banyaknya kemungkinan jadwal pertandingan adalah

Peluang

Kaidah 3 :

Banyaknya permutasi yang berbeda dari n objek yang n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua, … , nk berjenis ke-k adalah

Peluang

Contoh 4 :

Rangkaian lampu hias untuk pohon natal terdiri dari 3 lampu merah, 4 kuning dan 2 biru. Berapa banyak susunan berbeda yang dapat dibuat.

Jawab :

Peluang

Kaidah 4 :

Banyaknya cara menyekat sekumpulan objek ke dalam r sel, dengan n1 dalam sel pertama, n2 unsur dalam sel kedua demikian seetrusnya adalah

Peluang

Contoh 5 :

Sekelompok tamu berjumlah 7 orang akan menginap di sebuah hotel. Kamar yang tersedia adalah 1 kamar triple dan 2 kamar dobel. Berapa banyak cara ke 7 orang tersebut dapat diatur dalam kamar tersebut.

Jawab :

n = 7,  n1 = 3 , n2 = 2 , n3 = 2

Peluang

2. Kombinasi

Bagaimana kita mengetahui banyaknya cara mengambil r objek dari n objek tanpa memperhatikan urutannya.

Kaidah 5

Banyaknya kombinasi r objek dari n objek yang berbeda adalah :

Peluang

Contoh 6 :

Dari 5 orang anggota partai Lidah Tak Bertulang, akan dipilih 3 orang untuk menduduki satu komisi. Ada berapa susunan orang yang dapat dibentuk :

Jawab :

Peluang

Contoh 7 :

Menyambung soal nomor 6, jika ada partai lain (Partai Loba Omong) yang beranggotakan 4 orang dan 2 diantaranya akan menjadi angota komisi diatas, berapa susunan dari kedua partai tersebut yang dapat disusun.

Jawab :

Untuk Partai Lidah Tak Bertulang ada 10 susunan,

Untuk Partai Loba Omong :

PeluangMaka untuk kedua partai tersebut dapat disusun sebanyak 10 6 = 60 susunan. (Rumus ini dikenal sebagai rumus perkalian)

F. Kaidah-kaidah Peluang

Sebelum membahas berbagai konsep yang menyangkut teori peluang secara formal, ada baiknya diperkenalkan terlebih dahulu beberapa hal mendasar berikut ini.

Semua nilai peluang yang dibahas dalam analisis statistika selalu dinyatakan dalam bentuk pecahan atau desimal. Sedangkan setiap peristiwa dinyatakan dalam bentuk huruf besar baik menggunakan indeks maupun tidak, seperti A, B, E, … Ai, Bi, ….

Contoh :

A = munculnya angka 1 pada pelemparan 1 buah dadu

E  = jumlah barang yang cacat

K = jumlah konsumen yang menyukai kemasan plastik

1. Peluang Sebuah Peristiwa

Untuk mempermudah penjelasan dalam menghitung peluang ini, ambil contoh tentang sebuah keluarga yang merencanakan untuk memiliki 3 anak seperti yang dijelaskan sebelumnya. Berapakah peluang sebuah keluarga memiliki paling sedikit 2 anak laki-laki?. Untuk menjawabnya perlu diketahui jumlah peristiwa yang bisa terjadi.

Misal E = paling sedikit dua anak laki-laki

Kita tahu : S = { LLL, LLP, LPL, LPP, PLL, PLP, PPL, PPP}

Dari S ini bisa dilihat bahwa E adalah kumpulan dari titik-titik {LLL,LLP, LPL, PLL} dimana jumlah titik sampelnya = 4.

Dengan menggunakan Rumus (1) :

Peluang2. Peluang Peristiwa Sederhana

Jika peristiwa E menghindarkan terjadinya peristiwa  maka :

PeluangPeristiwa ini disebut juga sebagai peristiwa komplementer.

Contoh 8 : Berapa peluang munculnya bukan angka genap pada pelemparan sebuah dadu

Jawab   :

Misal G adalah peristiwa munculnya angka genap ® G = {2, 4, 6}

P(G) = 3/6 = ½.

Dengan menggunakan Rumus, maka diperoleh :

Peluang

G. Peluang Peristiwa Majemuk

Dalam peristiwa peluang majemuk ada empat jenis peristiwa yang dapat dijelaskan yaitu peristiwa saling eksklusif, inklusif, peristiwa bersyarat, dan peristiwa bebas.

1. Peristiwa Saling Eksklusif

Definisi :

Dua peristiwa A dan B dikatakan saling eksklusif jika kedua peristiwa ini tidak memiliki titik sample yang sama atau tidak ada irisan antara kedua peristiwa.

Peluang

2. Peristiwa Saling Inklusif

Jika dua peristiwa memiliki titik yang sama atau terdapat irisan antara kedua peristiwa, maka hubungan kedua peristiwa ini disebut saling inklusif. Hubungan inklusif sebenarnya adalah perluasan dari hubungan eksklusif. Dalam peristiwa ini berlaku hubungan : A atau B atau keduanya. Secara matematis hubungan ini dirumuskan sebagai berikut :

Peluang

3. Peristiwa Bersyarat

Dalam teori peluang hal semacam ini penting untuk diketahui karena peluang dalam sebagian ruang sampel bisa berbeda dengan peluang pada ruang sampel secara keseluruhan. Subpopulasi didefinisikan secara khusus dalam populasi ini dan peluang-peluang yang berhubungan dengan setiap peristiwa dalam subpopulasi dikenal dengan nama peluang bersyarat.

Contoh

Perusahaan “Highfly” adalah perusahaan yang bergerak dalam pembuatan suku cadang pesawat terbang. Dari pengalaman yang telah lampau diketahui bahwa (1) peluang pesanan siap dikirim secara tepat waktu adalah 0,80 dan (2) peluang pesanan dikirim dan sampai di tujuan tepat waktu adalah 0,72. Berapakah peluang pesanan sampai di tujuan secara tepat waktu dengan catatan bahwa pesanan tersebut sudah siap untuk dikirimkan secara tepat waktu?

Jawab :

Misal R adalah peristiwa bahwa pesanan siap dikirim tepat waktu dan D adalah peristiwa pesanan akan tepat waktu sampai di tujuan.

Kita tahu bahwa P(R) = 0,80 dan P(RÇD) = 0,72

PeluangJadi peluang pesanan akan sampai di tujuan sesuai tepat waktu adalah 0,90 dengan syarat bahwa pesanan siap dikirim tepat waktu. Perlu dicatat di sini bahwa P(D½R) tidak bisa dihitung karena P(D) tidak diketahui.

4. Peristiwa Bebas

Peristiwa A dikatakan bebas dari peristiwa B jika salah satu peristiwa tidak dipengaruhi oleh peristiwa lainnya. Sebagai contoh jika kita mengambil kartu dari setumpuk kartu bridge secara berurutan dimana setiap pengambilan kartu selalu dikembalikan lagi, maka semua hasil dari peristiwa ini dikatakan bebas antara yang satu dengan lainnya. Peluang terambilnya kartu As pada setiap pengambilan akan selalu 4/52. Jika pengambilan kartu tidak dengan pengembalian maka hasil yang diperoleh akan bersifat tidak bebas atau saling tergantung. Peluang terambilnya kartu As pada pengambilan pertama adalah 4/52, pengambilan kedua 3/51, pengambilan ketiga 2/50 dan seterusnya.

Daftar Pustaka

Soedibjo Bambang S, Dasar-dasar Teori Peluang, elib.unikom.ac.id/download.php?id=105761

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s